DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS

DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS

Nama: Diena Naila Amalia

Kelas: XI IPS 1

A. Determinan Matriks Berordo 2x2 dan 3x3

Determinan suatu matriks didefinisikan sebagai selisih antara perkalian elemen-elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder.  Determinan matriks hanya dapat ditentukan pada matriks persegi. Determinan dari matriks A dapat dituliskan det(A) atau |A|.

Untuk menentukan determinan dari sebuah matriks, terdapat dua aturan berdasarkan ordonya, yaitu ordo 2x2 dan ordo 3x3.

Determinan Matriks Ordo 2x2

Determinan matriks persegi dengan ordo 2x2 dapat dihitung dengan cara berikut:

Determinan  Matriks Ordo 3x3

Determinan matriks persegi dengan ordo 3x3 dapat dihitung dengan menggunakan dua cara, yaitu kaidah Sarrus dan ekspansi kofaktor. Namun, cara yang paling sering digunakan dalam menentukan determinan matriks ordo 3x3 adalah dengan kaidah Sarrus.

Langkah-langkah mencari determinan matriks ordo 3x3 dengan kaidah Sarrus:

1. Meletakkan kolom pertama dan kolom kedua di sebelah kanan garis vertikal determinan.
2. Jumlahkan hasil kali elemen-elemen yang terletak pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen yang sejajar diagonal utama pada arah kanan kemudian kurangi dengan jumlah hasil kali elemen-elemen yang terletak pada diagonal samping dengan elemen-elemen yang sejajar dengan diagonal samping.

|A| = (a.e.i) + (b.f.g) +( c.d.h) – (c.e.g) – (a.f.h) – (b.d.i)

|A| = (a.e.i + b.f.g + c.d.h) – (c.e.g + a.f.h + b.d.i)

B. Invers Matriks Berordo 2x2 dan 3x3

Invers matriks adalah kebalikan (invers) dari sebuah matriks yang apabila matriks tersebut dikalikan dengan inversnya, akan menjadi matriks identitas. Invers matriks dilambangkan dengan A-1. Suatu matriks dikatakan memiliki invers jika determinan dari matriks tersebut tidak sama dengan nol.

Untuk menentukan invers dari sebuah matriks, terdapat dua aturan berdasarkan ordonya, yaitu ordo 2x2 dan ordo 3x3.

Invers  Matriks Ordo 2x2

Invers matriks persegi dengan ordo 2x2 dapat dicari dengan cara sebagai berikut:

Invers  Matriks Ordo 3x3

Untuk mencari invers matriks pada ordo 3x3, dapat digunakan metode eliminasi Gauss Jordan.

Secara sistematis, eliminasi Gauss Jordan dapat dinyatakan sebagai berikut:

Matriks persegi A dieliminasi menggunakan operasi aljabar sampai membentuk matriks identitas. Operasi yang dilakukan pada matriks A juga dilakukan pada matriks identitas sehingga jika matriks A sudah menjadi matriks identitas, maka matriks identitas akan berubah menjadi invers dari matriks A.

C. Masalah Kontekstual yang Berhubungan dengan Determinan dan Invers Matriks

1. Diketahui matriks $A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ -1& 4\end{array}\right)$, maka determinan dari matriks $A$ adalah . . . .
Pembahasan:

$|A|=ad-bc$
$=3.4-(-1).2$
$=12-(-2)$
$=12+2$
$=14$

2. Jika 

$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 1& 2& 4\\ 5& 3& 2\end{array}\right)$ maka determinan $A$ adalah . . . .

Pembahasan:

$|A|=\left|\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 1& 2& 4\\ 5& 3& 2\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 1& 2& 4\\ 5& 3& 2\end{array}\right|\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 2\\ 5& 3\end{array}$

$=\mathrm{3.2.2}+\mathrm{2.4.5}+\mathrm{1.1.3}-\mathrm{5.2.1}-\mathrm{3.4.3}-\mathrm{2.1.2}$
$=12+40+3-10-36-4$
$=55-50$
$=5$

3. Jika 

$A=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 5& 3\end{array}\right)$ maka $A^{-1}$ adalah . . . .

Pembahasan:

$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$
$=\frac{1}{4.3-2.5}\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -5& 4\end{array}\right)$
$=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -5& 4\end{array}\right)$
$=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{2}& -1\\ -\frac{5}{2}& 2\end{array}\right)$

4. Jika 

$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 4& 2\\ 1& 3& 5\\ 2& 0& 1\end{array}\right)$ maka $A^{-1}=$ . . . .

Pembahasan:

$Adjoint\left(A\right)$ $=\left(\begin{array}{ccc}+\left|\begin{array}{cc}3& 5\\ 0& 1\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}4& 2\\ 0& 1\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}4& 2\\ 3& 5\end{array}\right|\\ -\left|\begin{array}{cc}1& 5\\ 2& 1\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 1\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 5\end{array}\right|\\ +\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 0\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}3& 4\\ 2& 0\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 3\end{array}\right|\end{array}\right)$

$AdjointA=\left(\begin{array}{ccc}3& -4& 14\\ 9& -1& -13\\ -6& 8& 5\end{array}\right)$

$|A|=\left|\begin{array}{ccc}3& 4& 2\\ 1& 3& 5\\ 2& 0& 1\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 3\\ 2& 0\end{array}\right|$

$=\mathrm{3.3.1}+\mathrm{4.5.2}+\mathrm{2.1.0}-\mathrm{2.3.2}$ $-\mathrm{0.5.3}-\mathrm{1.1.4}$
$=9+40+0-12-0-4$
$=33$

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}.\left(adjointA\right)$

$=\frac{1}{33}\left(\begin{array}{ccc}3& -4& 14\\ 9& -1& -13\\ -6& 8& 5\end{array}\right)$

 

Daftar Pustaka:

https://akupintar.id/info-pintar/-/blogs/matriks-pengertian-operasi-determinan-invers-dan-contoh-soal

https://www.maretong.com/2019/06/determinan-dan-invers-matriks.html