Pada dasarnya, limit adalah suatu nilai yang menggunakan pendekatan fungsi ketika hendak mendekati nilai tertentu. Singkatnya, limit ini dianggap sebagai nilai yang menuju suatu batas. Disebut sebagai “batas” karena memang ‘dekat’ tetapi tidak bisa dicapai.
Misalkan f adalah fungsi yang terdefinisi pada interval tertentu yang memuat a, kecuali di a itu sendiri, sedangkan L adalah suatu bilangan riil. Maka fungsi f dapat dikatakan memiliki limit L untuk x mendekati a, sehingga ditulis
Namun, hanya jika untuk setiap bilangan kecil ε > 0 terdapat bilangan δ > 0 sedemikian rupa sehingga jika 0 < |x-a| <δ maka |f(x)-L| <ε. Pernyataan tersebut dinamakan definisi limit secara umum.
Rumus Limit
Dalam ilmu matematika, konsep limit ini ditulis berupa:
Maksudnya, apabila x mendekati a tetapi x tidak sama dengan a, maka f(x) akan mendekati L. Pendekatan x ke a ini dapat dilihat dari dua sisi, yakni sisi kiri dan sisi kanan. Nah, dengan kata lain bahwa x juga dapat mendekati dari arah kiri dan arah kanan sehingga nantinya akan menghasilkan limit kiri dan limit kanan.
Maka dari itu, diperolehlah pernyataan bahwa:
0 <|x-p|<δ⇔|f(x) – L|ε
Maksudnya, suatu fungsi dapat dikatakan memiliki limit apabila antara limit kiri dan limit kanan juga mempunyai besar nilai yang sama. Apabila limit kiri dan limit kanan tidak sama, maka nilai limitnya juga tidak akan ada.
Sifat Fungsi Limit Aljabar
Apabila n adalah bilangan bulat positif, k adalah konstanta, f dan g adalah fungsi yang mempunyai limit di c, maka sifat-sifatnya akan berupa:
Teorema Limit
Limit dalam bahasa umum bermakna batas.
Definisi dari limit ini menyatakan bahwa suatu fungsi f(x) akan mendekati nilai tertentu jika x mendekati nilai tertentu.
Pendekatan ini terbatas antara dua bilangan positif yang sangat kecil yang disebut sebagai epsilon dan delta.
Hubungan ke-2 bilangan positif kecil ini terangkum dalam definisi limit.
Limit 0/0
Bentuk 0/0 kemungkinan timbul dalam
ketika kita menemukan bentuk seperti itu coba untuk sederhanakan fungsi tersebut.
Jika itu bentuk persamaan kuadrat kita bisa coba memfaktorkan atau dengan cara asosiasi, dan jangan lupa aturan a2-b2 = (a+b) (a-b). Berikut adalah contohnya :
Contoh
Limit ∞/∞
Bentuk limit ∞/∞ terjadi pada fungsi suku banyak (polinom) seperti :
Contoh
Rumus cepat limit bentuk ∞/∞
Jika m<n maka L = 0
Jika m=n maka L = a/p
Jika m>n maka L = ∞
Limit (∞-∞)
Bentuk (∞-∞) sering sekali muncul pada saat ujian nasional.
Bentuk soalnya sangat beragam. Namun, penyelesaiannya tidak jauh dari penyederhanaan.
Contoh
Jika disubstitusikan x -> 1 maka bentuknya akan mmenjadi (∞-∞).
Dan untuk menghilangkan bentuk ∞-∞ kita sederhanakan bentuk tersebut menjadi
Rumus Cepat limit tak hingga
Rumus cepat mengerjakan limit tak hingga yang pertama dapat digunakan untuk bentuk soal limit tak hingga pada bentuk pecahan.
Untuk memperoleh nilai limit tak hingga bentuk pecahan kita hanya perlu memperhatikan pangkat tertinggi dari masing-masing pembilang dan penyebut.
Ada 3 kemungkinan yang dapat saja terjadi.
Pertama, pangkat tertinggi pembilang lebih kecil dari pangkat tertinggi penyebut.
Kedua, pangkat tertinggi pembilang sama dengan pangkat tertinggi penyebut.
Ketiga, pangkat tertinggi pembilang lebih tinggi dari pangkat tertinggi penyebut.
Rumus ke-3 nilai limit tak terhingga bentuk pecahan tersebut dapat dilihat pada persamaan dibawah ini.
Contoh
Nilai pangkat tertinggi pada pembilang adalah 3. Nilai pangkat tertinggi penyebut adalah 2 (m>n). Jadi, nilai limitnya adalah ∞.
Limit Tak Hingga
Fungsi limit tak hingga digunakan untuk menggambarkan keadaan limit x mendekati tak hingga atau dinotasikan dengan lim x → ∞ f(x).
Untuk menyelesaikan limit tak hingga dari suatu fungsi aljabar, terdapat dua cara yang umum digunakan.
Berikut gue jelaskan lebih lanjut mengenai cara-cara tersebut dan juga contoh soal limit fungsi tak hingga dan pembahasannya.
Contoh Soal:
Contoh Soal:
Cara Menentukan Limit Fungsi Aljabar Jika Variabelnya Mendekati Nilai Tertentu
Metode Substitusi
Perhatikan contoh soal berikut!
Tentukan nilai lim 2x2 + 5x→3
Penyelesaian:
Nah ketika ditanya berapa nilai limit untuk fungsi diatas ?.
Kita menggantikan nilai x = 3 untuk variabel x pada 2x2, nah inilah yang dinamakan substitusi. Sehingga penyelesaian limit di atas secara subsitusi adalah : lim 2x2 + 5 = 2.(3)2 + 5 = 23x→3
Metode Pemfaktoran
Metode ini akan digunakan apabila fungsi-fungsi tersebut dapat difaktorkan sehingga tidak menghasilkan nilai tak terdefinisi. Perhatikan contoh berikut!
Dalam contoh soal tersebut, jika x=3 maka dapat kita substitusikan menjadi f(3) = 3 akar 2 – 9 / 3 -3 = 0/0
Dengan menggunakan metode substitusi akan menghasilkan bentuk tak terdefinisikan (0/0) :
limx→ 1
x2 + 2x – 3x – 1
=
12 + 2(1) – 31 – 1
=
00
Maka harus diselesaikan dengan metode pemfaktoran :
limx→ 1
x2 + 2x – 3x – 1
=
limx→ 1
(x – 1)(x + 3)(x – 1)
⇔
limx→ 1
(x + 3)
⇔ (1 + 3)
⇔ 4
Metode Merasionalkan Penyebut
Pada cara ketiga ini dapat digunakan jika penyebutnya berbentuk akar yang memang perlu untuk dirasionalkan, sehingga supaya tidak terjadi pembagian angka 0 dengan 0. Perhatikan contoh soal berikut!
Contoh:
Metode Merasionalkan Pembilang
Pada cara ini, hampir sama dengan metode sebelumnya, yakni dapat digunakan jika penyebutnya berbentuk akar yang memang perlu untuk dirasionalkan, sehingga supaya tidak terjadi pembagian angka 0 dengan 0. Perhatikan contoh soal berikut!
Dalam contoh soal tersebut, jika x=3 maka dapat kita substitusikan menjadi f(3) = 3 akar 2 – 9 / 3 -3 = 0/0
