Diena Naila Amalia
08/X IPS 3
Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel (SPLKDV)
Banyak persoalan pada bidang sains, bisnis, dan juga teknik yang melibatkan dua atau lebih persamaan dalam dua atau lebih variabel.
Dan dalam menyelesaikan persoalan tesebut ini, kita harus menemukan solusinya dengan menggunakan sistem persamaan.
Dan untuk SPLDKV sendiri memiliki bentuk umum seperti berikut ini:
Keterangan:
Dengan a, b, p, q, r merupakan bilangan real.
Cara Penyelesaian SPLKDV
Berikut adalah tahapan atau langkah-langkah dalam menyelesaikan persoalan SPLKDV, diantaranya ialah sebagai berikut:
Subtitusikan y = ax+b menjadi y = px2 + qx + r sehingga akan terbentuk persamaan kuadrat.
Menentukan akar-akar persamaan kuadrat yang terbentuk yaitu x1 dan x2.
Subtitusikan x1 dan juga x2 ke dalam bentuk persamaan bentuk linear untuk memperoleh y1 dan y2.
Himpunan penyelesaiannya yaitu {(x1,y1),(x2,y2)}.
Himpunan penyelesaian antara persamaan bentuk linear dengan bentuk kuadrat mempunyai tiga kemungkinan, diantaranya yaitu:
Apabila D>0, maka garis serta parabola berpotongan di dua titik yang di mana adalah himpunan penyelesaiannya.
Apabila D = 0, maka garis serta parabola berpotongan di satu titik yang di mana adalah himpunan penyelesaiannya.
Apabila D < 0, maka garis seta parabola tidak berpotongan sehingga tidak memiliki himpunan penyelesaian atau { }.
Metode Substitusi
Berikut ini adalah contoh dari sistem persamaan dua variabel:
x – y = -4 ……………. Persamaan 1
x2 – y = -2 ……………. Persamaan 2
Penyelesaian dari sistem ini adalah pasangan berurutan yang di mana akan memenuhi masing-masing persamaan dalam sistem tersebut.
Proses dalam menemukan himpunan dalam metode atau penyelesaian ini disebut sebagai menyelesaikan sistem persamaan.
Header Toggle
Logo
Sistem Persamaan Linier Kuadrat Dua Variabel
Tiyas follow
Pembelajar yang ingin bermanfaat untuk orang banyak
Published 28 April 2021
Share
Comment 0 reply
Sistem Persamaan Linier Kuadrat Dua Variabel
Materi Sistem Persamaan Linier Kuadrat Dua Variabel biasanya akan kalian dapatkan di bangku SMA, tepatnya saat kalian berada di kelas 10.
Materi ini merupakan penjabaran lanjutan dari persamaan linear kuadrat. Berikut akan kami berikan ulasan selengkpanya mengenai Sistem Persamaan Linier Kuadrat Dua Variabel, simak baik-baik ya.
Daftar Isi
Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel (SPLKDV)
Cara Penyelesaian SPLKDV
Cara Penyelesaian SPK
Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel (SPLKDV)
Banyak persoalan pada bidang sains, bisnis, dan juga teknik yang melibatkan dua atau lebih persamaan dalam dua atau lebih variabel.
Dan dalam menyelesaikan persoalan tesebut ini, kita harus menemukan solusinya dengan menggunakan sistem persamaan.
Dan untuk SPLDKV sendiri memiliki bentuk umum seperti berikut ini:
Keterangan:
Dengan a, b, p, q, r merupakan bilangan real.
Cara Penyelesaian SPLKDV
Berikut adalah tahapan atau langkah-langkah dalam menyelesaikan persoalan SPLKDV, diantaranya ialah sebagai berikut:
Subtitusikan y = ax+b menjadi y = px2 + qx + r sehingga akan terbentuk persamaan kuadrat.
Menentukan akar-akar persamaan kuadrat yang terbentuk yaitu x1 dan x2.
Subtitusikan x1 dan juga x2 ke dalam bentuk persamaan bentuk linear untuk memperoleh y1 dan y2.
Himpunan penyelesaiannya yaitu {(x1,y1),(x2,y2)}.
Himpunan penyelesaian antara persamaan bentuk linear dengan bentuk kuadrat mempunyai tiga kemungkinan, diantaranya yaitu:
Apabila D>0, maka garis serta parabola berpotongan di dua titik yang di mana adalah himpunan penyelesaiannya.
Apabila D = 0, maka garis serta parabola berpotongan di satu titik yang di mana adalah himpunan penyelesaiannya.
Apabila D < 0, maka garis seta parabola tidak berpotongan sehingga tidak memiliki himpunan penyelesaian atau { }.
Metode Substitusi
Berikut ini adalah contoh dari sistem persamaan dua variabel:
x – y = -4 ……………. Persamaan 1
x2 – y = -2 ……………. Persamaan 2
Penyelesaian dari sistem ini adalah pasangan berurutan yang di mana akan memenuhi masing-masing persamaan dalam sistem tersebut.
Proses dalam menemukan himpunan dalam metode atau penyelesaian ini disebut sebagai menyelesaikan sistem persamaan.
Sebagai contoh, pasangan berurutan (–1, 3) merupakan salah satu selesaian dari sistem ini. Untuk menguji hal ini, maka akan kita substitusi –1 ke x serta 3 ke y dalam masing-masing persamaan.
Menguji (–1, 3) ke dalam Persamaan 1 serta Persamaan 2:
x – y = -4 → Tulis persamaan 1.
-1 – 3 = -4 → Substitusi -1 ke x dan 3 ke y.
-4 = -4 → Penyelesaian teruji dalam persamaan 1.
x2 – y = -2 → Tulis persamaan 2.
(-1)2 – 3 = -2 → Substitusi -1 ke x dan 3 ke y.
1 – 3 = -2 → Sederhanakan.
-2 = -2 → Penyelesaian teruji dalam persamaan 2.
Di sini akan kita pelajari dua macam cara dalam menyelesaikan sistem persamaan linear serta kuadrat dua variabel. Kita mulai dengan menggunakan metode substitusi.
Metode Substitusi
1. Selesaikan satu persamaan, sehingga akan ada satu variabel pada persamaan tersebut yang dinyatakan ke dalam bentuk variabel lainnya.
2. Substitusi bentuk yang diperoleh dalam tahap pertama ke dalam persamaan lainnya untuk memperoleh persamaan dalam satu variabel.
3. Selesaikan persamaan yang didapatkan pada tahap ke dua.
4. Substitusi balik nilai yang kita dapatkan di tahap tiga ke dalam persamaan yang didapatkan di tahap pertama guna menemukan nilai variabel lainnya.
5. Uji selesaian ini apakah memenuhi masing-masing persamaan dalam sistem.
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di bawah ini adalah:
soal spk
B. {(1,2),(3,0)}
C. {(-1,0),(2,3)}
D. {(2,3),(0,-1)}
E. {(0,3),(-1,2)}
Jawab:
Substitusikan y = x – 3 ke y = x2 – 4x + 3, sehingga akan kita dapatkan:
x – 3 = x2 – 4x + 3
<=> -x2 + 5x – 6 = 0
<=> x2 – 5x + 6 = 0
<=> (x – 3)(x – 2) = 0
<=> x1 = 3 atau x2 = 2
Untuk x1 = 3 maka y1 = 3 – 3 = 0
Untuk x2 = 2 maka y2 = 2 – 3 = -1
Sehingga, himpunan penyelesaiannya yaitu {(2,-1),(3,0)}
Maka jawaban yang paling tepat adalah: A
2. Sistem Persamaan Kuadrat (SPK)
Sistem persamaan kuadrat dengan variabel x serta y pada umumnya dinyatakan seperti berikut ini:
y = ax2 + bx + c
y = px2 + qx + r
persamaan kuadrat
Keterangan:
Dengan a, b, p, q, r merupakan bilangan real.
Cara Penyelesaian SPK
Substitusikan persamaan yang satu ke dalam persamaan yang lainnya sehingga akan membentuk persamaan kuadrat.
Menentukan akar-akar persamaan kuadrat yang terbentuk sehingga akan kita dapatkan himpunan penyelesaiannya, yaitu: {(x1,y1),(x2,y2)}
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan kuadrat mempunyai 6 kemungkinan, diantaranya yaitu:
Apabila D > 0, maka kedua parabola akan berpotongan di dua titik yang di mana adalah himpunan penyelesaiannya.
Apabila D = 0, maka kedua parabola akan berpotongan di satu titik yang di mana adalah himpunan penyelesaiannya
Apabila D < 0, maka kedua parabola tidak akan berpotongan sehingga tidak memiliki himpunan penyelesaian atau { }
Apabila a = p, b ≠ q, maka kedua parabola akan berpotongan di satu titik yang di mana adalah himpunan penyelesaiannya
Apabila a = p, b = q dan c ≠ r, maka kedua parabola tidak akan berpotongan sehingga himpunan penyelesaiannya { }
Apabila a = p, b ≠ q dan c = r, maka kedua parabola berimpit sehingga anggota dari himpunan penyelesaiannya tak berhingga penyelesaiannya.
Contoh Soal:
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di bawah ini adalah:
soal spk
A. {(5,2),(2,3)}
B. {(2,-5),(2,-3)}
C. {(-2,5),(2,-3)}
D. {(-2,-3),(2,-5)}
E. {(-3,5),(2,-2)}
Jawab:
Substitusikan persamaan dari y = x2 -2x – 3 ke dalam persamaan y = -x2 -2x + 5, sehingga:
x2 -2x – 3 = -x2 -2x + 5
<=> 2x2 -8 = 0
<=> x2 – 4 = 0
<=> (x – 2)(x + 2) = 0
<=> x = 2 atau x = -2
Untuk x = 2
y = x2 – 2x – 3
y = (2)2 -2 (2) – 3
y = 4 – 4 – 3
y = -3
Untuk x = -2
y = x2 – 2x – 3
y = (-2)2 -2 (-2) – 3
y = 4 + 4 – 3
y = 5
Maka dari itu, himpunan penyelesaiannya dari soal di atas adalah {(-2,5),(2,-3)}
Sehingga jawaban yang paling tepat adalah: C.
pertidaksamaan linear dua variabel
Rogu ditugasi ibunya mengantar barang pesanan ke tetangganya. Ada dua jenis barang pesanan yaitu baju dan celana. Agar lebih mudah, Rogu mengantarnya menggunakan motor. Namun Rogu menemui masalah nih, Squad. Ia cuma bisa membawa barang-barang tersebut dalam jumlah terbatas! Bantu Rogu mencari jumlah maksimum barang yang dapat dibawa yuk agar motornya tidak kelebihan beban.
pertidaksamaan linear dua variabel
Motor Rogu hanya bisa membawa beban kurang dari 24 kg. Satu karung baju mempunyai berat sebesar 3 kg dan satu karung celana mempunyai berat sebesar 2 kg. Berapa karung baju dan celana yang dapat ia bawa?
Nah, dari persoalan ini bisa dibuat nih pertidaksamaan linear dua variabel. Mengapa pertidaksamaan? Kata kunci pertidaksamaan di antaranya adalah kurang atau lebih dari. Dua variabel berarti nilai yang tidak diketahui ada dua yaitu banyaknya karung baju dan celana.
Berat total kurang dari 24 kg. Padahal berat total itu berat baju ditambah berat celana. Sementara, berat baju dapat dihitung dari berat satu karung baju dikali jumlah karung baju. Begitu pula berat celana. Misalnya jumlah karung baju adalah x dan berat karung celana adalah y maka pertidaksamaannya jadi
3x + 2y < 24
Setelah itu gimana nih Squad penyelesaiannya? Jangan khawatir. Yuk langsung lihat langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan linear dua variabel!
langkah penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel
Sekarang coba kita ikuti yuk langkah-langkah di atas
1. Cari titik x saat y = 0 dan y saat x = 0
Perhatiin deh. Pada 3x + 2y = 24, maka
saat y = 0 didapat 3x = 24 atau x = 8
saat x = 0 didapat 2y = 24 atau y = 12
Cukup mudah kan langkah pertama? Langsung aja lanjut ke langkah ke-2!
2. Gambar grafik yang menghubungkan kedua titik
Tinggal beri titik di angka 8 pada sumbu x dan angka 12 pada sumbu y kok. Coba lihat ilustrasi di bawah
grafik pertidaksamaan linear dua variabel
3. Arsir daerah yang bersesuaian dengan tanda
Daerah di bawah garis adalah untuk tanda kurang dari ( < ) dan daerah di atas garis adalah untuk tanda lebih dari ( > ). Maka daerahnya adalah
daerah penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel
Catatan: jumlah barang tidak mungkin bernilai negatif sehingga daerah yang diberi tanda silang (x dan y negatif) bukan daerah penyelesaian
Jumlah karung baju dan celana yang bisa di bawa Rogu berapa nih jadinya? Lihat saja titik-titik dalam daerah penyelesaian. Contohnya adalah titik x = 5 dan y = 1. Maka Rogu bisa membawa 5 karung baju (5 x 3 kg = 15 kg) dan 1 karung celana (1 x 2 kg = 2 kg). Totalnya adalah 17 kg. Wah cukup berat juga ya. Tapi tetap kurang dari 24 kg kan?
sistem pertidaksamaan linear dua variabel
Eh, gimana kalau ternyata agar lebih cepat, ibu Rogu mensyaratkan banyaknya karung yang dibawa Rogu minimum harus 10 karung? Masih banyak karung yang Rogu antarkan lagi nih soalnya.
Maka selain pertidaksamaan 3x + 2y < 24, harus kita gabungkan juga pertidaksamaan lain. Banyaknya karung baju (x) ditambah banyaknya karung celana (y) minimal harus 10 karung. Jadi pertidaksamaan yang digabungkan dengan 3x + 2y < 24 adalah
x + y ≥ 10
ilustrasi sistem pertidaksamaan linear dua variabel
Ilustrasi permasalahan Rogu (sumber : freepik.com)
Baca juga: Apakah Fungsi Invers Itu?
Nah, gabungan dari beberapa pertidaksamaan linear dua variabel dinamakan sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Pada prinsipnya, cara pemecahannya sama kaok yaitu dengan menggambar grafik. Tinggal cari deh daerah penyelesaian kedua pertidaksamaan di atas. Dengan menerapkan langkah-langkah di atas maka didapat gambar grafik yaitu
penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel
Salah satu titik penyelesaian tersebut adalah x = 1 dan y = 10. Jadi Rogu bisa nih membawa 1 karung baju dan 10 karung celana. Total karung yang ia bawa adalah 11 karung (lebih dari 10 karung) dan berat karung semuanya adalah 1 x 3 kg + 10 x 2 kg atau 23 kg. Tetap kurang dari 24 kg kan Squad? Itu tuh manfaatnya bisa menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Masalah di hidup kita bisa diselesaikan lebih mudah, Squad!
Bila kamu butuh tambahan video materi atau pembahasan soal, langsung aja daftar di ruangbelajar. Dijamin deh jadi makin jago! Tunggu apa lagi, Squad?
Sumber Referensi
Kenginan M. (2018) Buku Teks Pendamping Matematika untuk Siswa SMA-MA/SMK-MAK Kelas X. Bandung:Srikandi Empat Widya Utama
